Dispense del corso e delle esercitazioni disponibili sulle pagine web dei docenti.
P. Baldi – Calcolo delle Probabilita' e Statistica.
S.M.Ross – Calcolo delle probabilita' e Statistica.
Obiettivi Formativi
Conoscenze:
Conoscenze di base per il trattamento statistico dei dati.
Competenze acquisite:
Elementi di calcolo delle probabilita'.
Prerequisiti
Insegnamenti contenenti i prerequisiti (vincolanti e/o consigliati)
Corsi vincolanti: nessuno
Corsi raccomandati: nessuno
Metodi Didattici
CFU: 3
Numero di ore relative alle attività in aula: 24
Modalità di verifica apprendimento
Esame orale. La prova consiste generalmente in domande sul programma svolto di Probabilità .
Programma del corso
PROBABILITÀ
Calcolo delle probabilità: Introduzione al calcolo delle probabilità. Impostazione classica: probabilità come rapporto tra numero di casi favorevoli e numero totale di casi.
Impostazione frequentista: probabilità come frequenza relativa in una serie di prove fatte nelle stesse condizioni.
Impostazione soggettiva: probabilità come grado di fiducia nel verificarsi di un certo evento.
Impostazione assiomatica della probabilità Assiomi e dimostrazione di alcune semplici proprietà. Probabilità condizionata. Teorema della probabilità totale. Probabilità dell'intersezione di due eventi; probabilità dell'unione di due eventi non mutuamente esclusivi. Esempi ed esercizi. Teorema di Bayes. Regole per il calcolo della probabilità dell'intersezione di più eventi e per il calcolo della probabilità dell'unione di più eventi non mutuamente esclusivi. Indipendenza stocastica.
Esempi di applicazioni delle regole di addizione e moltiplicazione delle probabilità. Indipendenza nel caso di 3 o più eventi.
Variabili aleatorie. Definizioni ed esempi. Distribuzione cumulativa nel caso discreto e sue proprietà. Densità di probabilità discreta e relative proprietà. Esempi. Relazioni tra densità e distribuzione cumulativa. Funzione di densità nel caso continuo e sue proprietà. Non unicità della funzione di densità di probabilità. Probabilità come area del sottografico della funzione di densità.
Valore atteso E(X) di una variabile aleatoria (caso discreto e caso continuo). Parallelismo tra valore atteso e baricentro di un sistema di masse. Varianza di una variabile aleatoria (caso discreto e continuo). Deviazione standard. Parallelismo tra varianza e momento d'inerzia di un sistema di masse.
Funzioni di variabili aleatorie. Valore atteso e varianza di funzioni di variabili aleatorie.
Distribuzioni di probabilità: caso discreto
Distribuzione binomiale (o di Bernoulli). Estrazioni con e senza reimbussolamento. Calcolo di media e varianza. Distribuzione di Poisson per gli eventi rari. Approssimazione della distribuzione binomiale con una Poisson. Media e varianza delle distribuzione di Poisson. Indipendenza della probabilità dal ritardo. Distribuzione geometrica.
Distribuzioni di probabilità: caso continuo.
Distribuzione uniforme su un intervallo [a, b]. Media e Varianza della distribuzione uniforme.
Esempi vari ed esercizi.
Distribuzione esponenziale. Distribuzione Normale (o Gaussiana). Normale standardizzata N(x). Media e varianza della distribuzione normale. Proprietà di N(x). Distribuzione cumulativa Φ(x) della normale standardizzata e sue proprietà. Tavole dei valori di Φ e loro utilizzo.
Cenni sull'approssimazione della distribuzione binomiale mediante la Gaussiana.
Distribuzioni congiunte.
Funzione di distribuzione cumulativa congiunta e sue proprietà. Distribuzioni cumulative marginali, densità congiunta, funzioni di densità marginali.
Distribuzioni congiunte. Caso bidimensionale continuo Variabili bidimensionali continue, densità di probabilità congiunta, funzione di distribuzione cumulativa e loro proprietà; densità marginali e distribuzioni cumulative marginali. Variabili aleatorie indipendenti. Valore atteso del prodotto di due variabili indipendenti. Varianza della somma di variabili indipendenti.
Disuguaglianza di Chebychev. Legge dei grandi numeri. e teorema del limite centrale.