Spazi metrici e normati, di Banach e di Hilbert. Completezza. Successioni e serie di funzioni. Tipi di convergenza. serie di potenze. Calcolo differenziale e integrale per le funzioni di più variabili. Applicazioni geometriche. Problemi di ottimizzazione. Introduzione alla teoria dell'equazioni differenziali ordinarie.
Carlo Domenico Pagani, Sandro Salsa, Analisi matematica Voll. 1 e 2 (Nuova edizione 2015), Zanichelli Ed. (Attenzione: il calcolo differenziale in piu' variabili e' nel Vol. 1).
Mariano Giaquinta, Giuseppe Modica, Note di analisi matematica. Funzioni di piu' variabili, Pitagora Ed., 2006
Obiettivi Formativi
Fornire nozioni di base e risultati principali del calcolo differenziale e integrale per le funzioni di più variabili. Acquisire capacita' di applicare le conoscenze allo studio di problemi di geometrici, fisici e problemi di ottimizzazione. Fornire conoscenze di metodi principali di soluzione delle Equazioni Differenziali Ordinarie , in particolare delle EDO che emergono dai problemi di fisica.
Sono fornite le conoscenze di base di analisi funzionale; in particolare sono introdotti diversi tipi di spazi metrici e normati, il concetto di completezza, spazi di Banach e di Hilbert, diversi tipi di convergenza per le serie e le successioni di funzioni.
Prerequisiti
Programmi del corso di Analisi Matematica I e di Geometria
Metodi Didattici
Lezioni e esercitazioni in aula e a distanza
Modalità di verifica apprendimento
Prova scritta consistente nella risoluzione di esercizi e prova orale.
Per sostenere la prova scritta è richiesta l'iscrizione all'esame sul sito http://sol.unifi.it/prenot/prenot
Programma del corso
1. Spazi metrici, spazi normati, intorni aperti,funzioni continue tra spazi metrici. Successioni di Cauchy Completezza. Spazi completi, spazi di Banach.
2.Spazi compatti. Teorema di Ascoli-Arzela'. Uno spazio compatto è completo. Il Teorema delle contrazioni.
3. Serie di funzioni, convergenza uniforme e convergenza totale. Esercizi.
Serie di potenze. Definizione di raggio di convergenza. Esempi. La formula di Hadamard. Proprietà di regolarità delle serie di potenze. Proprietà delle funzioni analitiche. Formula di Taylor e serie di Taylor: condizione necessaria e sufficiente sul limite del resto
4. Esercizi sul calcolo dei coefficienti di una serie e sul calcolo della somma.
5. Funzioni da R^N in R. Continuità. Studio sulle rette. Esempi patologici. Derivata direzionale. Derivate parziali.
Funzioni differenziabili. Gradiente.
Il Gradiente ha la direzione della massima pendenza. Teorema del differenziale totale. Derivate successive. Il teorema di Schwartz. Esercizi.
Definizione di curva e prime sue proprietà. Il teorema della derivazione di funzioni composte.
Formula di Taylor con resto in forma di Lagrange e forma di Peano.
La matrice Jacobiana ed il suo determinante.
Teorema di Fermat, e sua applicazione per la ricerca dei punti di max/min. Condizioni necessarie del secondo ordine.
Condizioni sufficienti max/min liberi. Esercizi
Matrici definite positive/negative e semidefinite positive/negative. Applicazione allo studio dei max/min liberi di una funzione in base al segno degli autovalori. Esercizi per matrici Hessiane 2x2 e 3x3.
Funzioni omogenee e loro proprietà. La derivata direzionale di una funzione omogenea di grado a è una funzione omogenea di grado a-1 . Il teorema di Eulero.
Funzioni da R^N in R^M e loro proprietà. Continuità, differenziabilità. La matrice Jacobiana. Cenni sulle funzioni composte.
4. Integrali multipli (secondo Riemann). Caso degli integrali doppi, per funzioni limitate, su rettangoli con i lati paralleli agli assi coordinate. Definizione e prime proprietà.
Integrazione delle funzioni continue. Formule di riduzione sui rettangolo. Integrali di funzioni f:Ω→Rf:Ω→R limitate su sottoinsiemi Ω⊂R2Ω⊂R2 limitati del piano e estensione standard per tali funzioni: f~R:R→Rf~R:R→R con Ω⊆RΩ⊆R rettangolo. Integrali 2D di funzioni limitate su insiemi limitati. Insiemi misurabili secondo Peano-Jordan e insiemi di misura nulla. Insiemi semplici e regolari. Formule di riduzione per insiemi semplici.
Mappe T:Ω⊆R^2→R^2, T:Ω⊆R^2→R^2 globalmente e invertibili. Matrice jacobiana e principali proprietà. Teorema di cambio di coordinate per gli integrali doppi (enunciato e idea dietro la dimostrazione).
Esempi espliciti sul cambio di variabili negli integrali doppi (coordinate polari).
Teorema della media integrale e applicazioni.
Simmetrie del piano. Funzioni dispari e funzioni pari rispetto a una simmetria assegnata. Applicazione al calcolo degli integrali doppi. Due esempi di calcolo espliciti. Applicazioni degli integrali: densità superficiale, massa e baricentro di una lamina piana. Momenti di inerzia.
Cambio di coordinate ellittiche per gli integrali doppi. Integrali tripli: caso dell'integrale di Riemann per funzioni limitate su un parallelepipedo. Maggiori proprietà dell'integrale triplo. Formule di riduzione sugli integrali tripli sui parallelepipedi. Domini semplici e regolari. Formule di integrazione per fili sui domini semplici.
Integrazione per fette per gli integrali tripli. Esempio di calcolo (con integrazione sia per fette che per fili). Cambiamento di coordinate per gli integrali tripli: formula generale e caso delle coordinate cilindriche.
Coordinate sferiche. Esempio di calcolo: calcolo del volume della sfera.
Superfici parametriche. Superfici parametriche regolari; piano tangente e vettore normale.
Area di una superficie parametrica. Vettore e versore normale alla superficie. Integrali di superficie per funzioni continue.
Superfici orientabili: definizione e caso del Nastro di Möbius. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie parametrica.
Prima forma fondamentale associata a una superficie e principali proprietà. Invarianza dell'integrale di superficie rispetto al cambio di parametrizzazione. Teorema della divergenza: enunciato e commenti.
Flusso attraverso una superficie cartesiana. Bordo di una superficie e la sua orientazione.
Applicazione del teorema della divergenza per il calcolo del flusso attraverso una superficie non chiusa. Il flusso cambia segno cambiando l'orientazione della superficie. Enunciato del teorema di Stokes (o del rotore).
Teorema di Stokes e Teorema di Green. Parallelo forme differenziali e campi vettoriali.
Orientazione di domini piani e del loro bordo. Curve omotope e conseguenze del teorema di Green. Applicazione del teorema di Green per lo studio delle forme chiuse su domini connessi.
Equazioni differenziali. Introduzione, equazione in forma implicita ed in forma normale. Equazioni di ordine superiore scritte come sistema del primo ordine. Equazioni a variabili separabili. Primi esempi. Il secondo principio della dinamica, il decadimento del neutrone, la crescita Malthusiana, il modello logistico. Il modello SIR con sua discussione per il caso della pandemia.
Il problema di Cauchy e lo schema della dimostrazione del teorema di esistenza e unicità.
Esercizi qualitativi sulla prolungabilità. Casi di non unicità. Il fenomeno del pennello di Peano.
EDO lineari omogenee e non omogenee e loro proprietà. L'equazione lineare non omogenea del primo ordine. Ricerca di una soluzione particolare col metodo della variazione della costante arbitraria. Formula risolutiva. Esercizi.
L'equazione di Bernoulli e le sue proprietà. Casi particolari. Equazioni in forma implicita del tipo x=g(y'). Esercizi
Equazione di Claureaut e sue proprietà. Inviluppo di soluzioni. Equazioni in forma implicita del tipo y=g(y'). Equazioni omogenee. Esercizi.
Casi particolari di equazioni del secondo ordine che posso essere trattate come equazioni del primo ordine. F(x, y', y'')=0, F(y, y',y'')=0. Equazioni lineari del secondo ordine. Soluzioni linearmente dipendenti/indipendenti. Il Wronskiano e sue proprietà. Teorema di Abel.
Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti. Ricerca di soluzioni particolari. Il metodo della variazione delle costanti arbitrarie. Esercizi.
Ricerca della soluzione particolare col metodo di similitudine. Il caso di radici del polinomio caratteristico multiple. Esercizi.
Curve in forma parametrica. Definizione e prime proprietà. Curve regolari e regolari a tratti. Curve grafico di funzione. Curve chiuse. Curve semplici. Curve equivalenti. Cammini e cammini orientati. Versore tangente.
Lunghezza di una curva, integrale curvilineo e loro dipendenza dai cammini e non dalle curve. Esercizi.
Funzioni implicite. Il teorema del Dini in due dimensioni. Derivate successive e sviluppo in formula di Taylor della funzione implicita.
Il teorema del Dini in tre dimensioni. Teorema del Dini in forma generale.
Massimi e minimi vincolati. Vincolo in forma parametrica e cartesiana. Moltiplicatori di Lagrange, e loro applicazione allo studio dei max/min vincolati.
Forme differenziali. Definizioni e primi esempi. Forme esatte. Il potenziale. Integrali di forme differenziali, definiti per cammini orientati. Campi conservativi.
Caratterizzazione insiemi connessi. Il teorema di caratterizzazione delle forme esatte.
Il corollario per le curve chiuse.
Discussione sulle forme chiuse. Cenni sulle 2-forme differenziali e sul differenziale esterno. Enunciato del teorema di De Rham come generalizzazione del teorema del calcolo integrale e del teorema di Stokes.
Le forme differenziali chiuse sono esatte negli insiemi stellati. Ricerca delle primitive di una forma differenziale esatta. Metodi ed esempi.
Equazioni differenziali e forme differenziali. Fattori integranti.