1) Spazi vettoriali. Operazioni tra vettori. Operazioni tra matrici. Determinante. Trasformazioni lineari e matrici. Autovalori e autovettori.
2) Funzioni in più variabili: Sviluppo di Taylor, integrali doppi, differenziale e derivate parziali. Massimi e minimi. Equazioni differenziali lineari.
3) Variabili aleatorie, distribuzioni e leggi, calcolo di leggi. Teoremi limite.
4) Processi di Poisson, Catene di Markov. Random walk.
-M.Bramanti, C.D. Pagani e S.Salsa. Calcolo infinitesimale e algebra lineare. Zanichelli.
-S.Abeasis. Elementi di algebra lineare e geometria. Zanichelli.
-P. Baldi, Calcolo delle probabilita`.
-A. di Bucchianico, E. van Berkum, F.R. Nardi, Compendio di Probabilita` e Statistica.
-S.M. Ross, Calcolo delle probabilita`.
Obiettivi Formativi
Il Corso ha l’obiettivo di fornire agli studenti le conoscenze e la capacità di comprensione e di applicazione dei concetti e dei risultati fondamentali dell'algebra lineare e del calcolo differenziale e integrale in più dimensioni. Il corso intende anche sviluppare le capacità saper operare nel calcolo matriciale e differenziale, in particolare nel caso di funzioni a due variabili reali, nella risoluzione degli esercizi.
Il Corso ha l’obiettivo di fornire agli studenti le conoscenze e le capacità di comprensione e di applicazione dei concetti e risultati su variabili casuali discrete e continue per calcolare probabilita` richieste da situazioni concrete e per calcolare le leggi (o distribuzioni) di variabili aleatorie unidimensionali e multidimensionali per modelli noti e per variabili casuali che non rientrano nei modelli noti. Il Corso ha l’obiettivo di fornire agli studenti conoscenze e capacità di comprensione e applicazione dei teoremi limite (con la loro dimostrazione) e dei processi di Poisson e le catene di Markov (alla base del metodo Monte Carlo) con attenzione allo sviluppo della capacita` di applicare tali risultati a problemi che richiedono la modellizzazione di una situazione concreta.
Particolare attenzione viene posta a sviluppare negli studenti le abilità comunicative necessarie per esporre i principali risultati esposti a lezione e per risolvere i problemi giustificando con linguaggio matematico corretto le affermazioni e le deduzioni necessarie alla risoluzione.
Prerequisiti
Calcolo differenziale e integrale in una variabile per funzioni reali. Conoscenze di base di algebra e della geometria.
Metodi Didattici
Lezione frontale e discussione e correzione di esercizi assegnati per casa.
Modalità di verifica apprendimento
L'esame consiste in due scritti per sessione in ciascuno dei quali saranno presenti domande aperte di due tipi. Il primo tipo in cui lo studente dovrà esporre i risultati spiegati durante le lezioni, con lo scopo di verificare la conoscenza, comprensione e la qualità dell'esposizione di tali risultati. Un secondo tipo nel quale lo studente dovrà dimostrare di saper applicare i risultati spiegati per risolvere problemi dandone giustificazione usando formule e linguaggio scientifico corretto. In particolare, le domande saranno formulate in modo da evidenziare se lo studente sia in grado di distinguere a seconda del problema quali modelli probabilistici sono più adatti alla situazione concreta presentata nell'esercizio.
Inoltre, allo studente verra`data la possibilita` di effettuare due prove parziali che, se superate entrambe con la sufficienza, permettono di essere esonerato dagli scritti.
Lo studente potrà inoltre scegliere di sostenere una prova orale al fine di migliorare la votazione.
Programma del corso
Il corso introduce gli elementi fondamentali dell'algebra lineare e analisi reale in piu` variabili, con particolare enfasi sul calcolo matriciale, e del calcolo differenziale ed integrale in più variabili. Inoltre il corso introduce gli elementi fondamentali dei processi stocastici con particolare attenzione al processo di Poisson e catene di Markov e applicazioni a matematica finanziaria.
I principali argomenti sono i seguenti:
1) Spazi vettoriali. Operazioni tra vettori. Operazioni tra matrici. Determinante. Trasformazioni lineari e matrici. Autovalori e autovettori. Forme quadratiche.
2) Spazio vettoriale euclideo n-dimensionale.
Sviluppo di Taylor. Funzioni in più variabili. Integrale di Riemann. Integrali doppi. Derivata totale e derivate parziali. Massimi e minimi per funzioni a più variabili reali. Metodo di Newton-Raphson.
Equazioni differenziali lineari del primo e secondo ordine.
3) Variabili aleatorie, distribuzioni e leggi, calcolo di leggi. Convergenza e approssimazione, teoremi limite.
4) Processi stocastici: processi di Poisson, Catene di Markov. Passeggiate aleatorie.